2009年南京高考压轴卷（数学文科）
数学（文科）试题
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）。
1．设全集为R,集合
，
，则有 （ ）
A．
B．
C．
D．
2．若
是正数的充要条件是 （ ）
A．
B．
C．
D．
3．在等差数列｛a
｝中，已知a
=2,a
+a
=13，则a
+a
+a
等于 （ ）
A．40 B．42 C．43 D．45
4．若
,则直线
=1必不经过 （ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．把点（3，4）按向量
平移后的坐标为
，则
的图象按向量
平移后的图象的函数表达式为 （ ）
A．
B．
C．
D．
6．如右图，正方体
中，E、F分别为棱
和
中点，G为棱
上任意一点，则直线 AE与直线FG所成的角为 （ ）
A．
B．
C．
D．
7．已知函数
的定义域为
，函数
的图象
如图所示，则函数
的图象是 （ ）
8．二项式
的展开式中含
的项， 则n的一个可能值是 （ ）
A．8 B．9 C．5 D．6
9．若A, B是平面内的两个定点, 点P为该平面内动点, 且满足向量
与
夹角为锐角
, 
, 则点P的轨迹是 （ ）
A．直线 （除去与直线AB的交点） B．圆 （除去与直线AB的交点）
C．椭圆 （除去与直线AB的交点） D．抛物线（除去与直线AB的交点）
10．设A、B是椭圆
=1上的两个动点，焦点坐标是F，则△ABF的周长的最大值为
（ ）
A．4 B．8 C．12 D．2
11．数列｛an｝中，a1=2, 
, 
, 又
, 则a2009= （ ）
A．2 B．
C．
D．1
12．f(x)与g(x)是定义在R上的可导函数.若f ′(x)=g ′(x)，则f(x)与g(x)满足 （ ）
A．f(x)=g(x) B．f(x)-g(x)是常数函数
C．f(x)=g(x)=0 D．f(x)+g(x)是常数函数
第Ⅱ卷
二、填空题：请把答案填在题中横线上（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）。
13．已知（x
）n的展开式中第二项与第三项的系数之和等于27，则n等于 ，系数最大的项是第 项。
14．已知两个非零向量
满足
则向量
的夹角大小为______ ;
15．三个好朋友同时考进同一所高中，该校高一有10个班，则至少有2人分在同一班的概率为 .
16．等腰直角三角形ABC中，AB=1，锐角顶点C在平面α内，β∥α，α、β的距离为1， 随意旋转三角形ABC，则三角形ABC在β另一侧的最大面积为 。
三、解答题：解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤（本大题共6个大题，共70分）。
17．（本大题10分）已知
都是定义在
上的函数，若存在正实数
使得
总成立，则称
为
在
上的生成函数.
若
，
.
（1）判断函数
是否为
在
上的生成函数，请说明理由；
（2）记
为
在
上的生成的一个函数，若
，且
的最大值为4，求
.
18．（本大题12分）如图，直三棱柱A1B1C1—ABC中，C1C=CB=CA=2，AC⊥CB. D、E分别为棱C1C、B1C1的中点.
（Ⅰ）求
与平面A1C1CA所成角的大小；
（Ⅱ）求二面角B—A1D—A的大小；
（Ⅲ）试在线段AC上确定一点F，使得EF⊥平面A1BD.
19．（本大题12分）、某校有5名学生报名参加义务献血活动, 这5人中血型为A型的2名, 血型为B型的学生1 名,血型为O型的学生2名,已知这5名学生中每人符合献血条件的概率均为
（1）若从这5名学生中选出2名,求所选2人血型为O型或A型的概率
（2）求这5名学生中至少有2名学生符合献血条件的概率.
20．（本大题12分，）
在平面直角坐标系xOy中，已知点A（-1, 0）、B（1, 0）, 动点C满足条件：△ABC的周长为
. 记动点C的轨迹为曲线W.
（Ⅰ）求W的方程；
（Ⅱ）经过点（0, 
）且斜率为k的直线l与曲线W 有两个不同的交点P和Q，
求k的取值范围；
（Ⅲ）已知点M（
），N（0, 1），在（Ⅱ）的条件下，是否存在常数k，使得向量
与
共线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由.
21．（本大题12分）数列{an}的前n项和为Sn，Sn=2an+4n（n=`1，2，3，……）
（1）求{an}的通项公式；
（2）设
的前n项和为Tn，求证：Tn<2.
22．（本大题12分）设定义在R上的函数f（x）＝a0x4+a1x3+a2x2＋a3x（其中ai∈R，i＝0，1，2，3），当2时，f（x）取得极大值3，并且函数y＝f′（x）的图象关于y轴对称。
（1）求f（x）的表达式；
（2）试在函数f （x）的图象上求两点，使以这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间[－1，1]上；
（3）求证：|f（sinx）－f（cosx）|≤3）（x∈R）．
.
